Question

設函數f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）對于兩個函數y=h（x）和y=r（x）及區(qū)間[m，n]，若存在x₁∈[m，n]，x₂∈[m，n]使得|h（x₁）-r（x₂）|＜1成立，則稱區(qū)間是函數y=h（x）和y=r（x）的“非疏遠區(qū)間”，a＞0，g（x）=x²+ax+a²-a+7，若區(qū)間[0，4]是函數y=f（x）和y=g（x）的“非疏遠區(qū)間”，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求導函數，利用x=3是函數f（x）的極值點，可得-（a+1）≠3即a≠-4，進而分a＞-4與a＜-4，分類討論，研究函數的單調性；
（2）分別求出g_min（x）與f_max（x），再將問題等價轉化為：若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1，只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，從而解不等式，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^3-x+（x²+ax-2a-3）（-1）e^3-x
=[-x²+（2-a）x+3a+3]e^3-x=-[x²+（a-2）x-3（a+1）]e^3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e^3-x…（3分）
∵x=3是函數f（x）的極值點
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）當-（a+1）＜3即a＞-4時
當x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減
當x∈（-a-1，3）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．…（5分）
（ii）當-（a+1）＞3即a＜-4時
當x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減
當x∈（3，-a-1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴當x∈[0，3]時f（x）單調遞增，當x∈[3，4]時f（x）單調遞減
∴當x∈[0，4]時，f_max（x）=f（3）=a+6，
∵g′（x）=2x+2a，
∴g（x）在x∈[0，4]時是增函數，
∴g_min（x）=g（0）=a²-a+7，
又∵a²-a+7-a-6=（a-1）²≥0，
∴g_min（x）≥f_max（x），
∴當x∈[0，4]時，g（x）≥f（x）恒成立．
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1
只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，
即a²-2a+1＜1，解得：0＜a＜2，
∴a的范圍是（0，2）．

點評：本題以函數的極值為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的單調區(qū)間，同時考查學生分析解決問題的能力