Question

已知函數(shù)f（x）=

x-2

ax+1

(a＞1，x∈R，x≠-

1

a

)；
（1）試問：該函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點，它們的函數(shù)值相同，請說明理由；
（2）若函數(shù)F（x）=a^x+f（x），試問：方程F（x）=0有沒有負根，請說明理由．
（3）記G（x）=|a^x-b|-b•a^x，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=

x-2

ax+1

，我們令f（x₁）=f（x₂），然后代入函數(shù)的解析式，再根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)得到（2a+1）（x₁-x₂）=0，結(jié)合a＞1，可得等式成立的唯一條件是：x₁=x₂．進而得到結(jié)論；
（2）由已知中函數(shù)F（x）=a^x+f（x），我們可以求出函數(shù)F（x）的解析式，進而根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷出函數(shù)F（x）在區(qū)間（-∞，0]上的單調(diào)性，進而根據(jù)F（0）的值，得到結(jié)論；
（3）由已知中G（x）=|a^x-b|-b•a^x，我們分b＜0和b≥0兩種情況，進行分類討論，分別討論兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，進而得到G（x）有最小值時，b的取值范圍．

解答：解：（1）令f（x₁）=f（x₂）

x1-2

ax1+1

=

x2-2

ax2+1

化簡得：（2a+1）（x₁-x₂）=0
因為a＞1．所以等式成立的唯一條件是：x₁=x₂．
∴函數(shù)的圖象上不存在不同的兩點，它們的函數(shù)值相同
（2）F（x）=a^x+f（x）=a^x

x-2

ax+1

a＞1，所以a^x在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，而f（x）在區(qū)間（-∞，0]上也是增函數(shù)．
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)增函數(shù)+增函數(shù)，還是增函數(shù)．
可得函數(shù)F（x）=a^x+f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)
又因為F（0）=-1
所以當(dāng)x＜0時，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0沒有負根
（3）a^x＞0，
如果b＜0，則：g（x）=（1-b）a^x-b，為單調(diào)遞增函數(shù)，無最小值．
如果b≥0，則：
當(dāng)a^x＞b時，g（x）=（1-b）a^x-b，
當(dāng)a^x＜b時，g（x）=-（1+b）a^x+b，
因為在兩個開區(qū)間內(nèi)，g（x）都是單調(diào)函數(shù)．
所以，要取得最小值的條件是，g（x）在（-∞，b]為減函數(shù)，在[b，∞）為增函數(shù)．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)最小值及其幾何意義，其中（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造方程，然后根據(jù)已知條件得到等式成立的唯一條件是：x₁=x₂．（2）的關(guān)鍵是根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷出函數(shù)F（x）在區(qū)間（-∞，0]上的單調(diào)性，（3）的關(guān)鍵確定分類標(biāo)準(zhǔn)，然后討論各種情況下，函數(shù)的單調(diào)性并進而確定是否存在最小值．