Question

（本小題滿分13分）

如圖，正三棱柱中，D是BC的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：由ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，得出BB₁⊥平面ABC，在正△ABC中，得到AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D。

（Ⅱ）解：連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁ = E，連接DE.由四邊形A₁ABB₁是正方形，

確定DE∥A₁C.推出A₁C∥平面AB₁D.

（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱，

∴BB₁⊥平面ABC，

∴BD是B₁D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BD，

根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D

（Ⅱ）解：連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵AA₁=AB ∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點(diǎn)，

又D是BC的中點(diǎn)，

∴DE∥A₁C. ………………………… 7分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………9分 

（Ⅲ）  ……13分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系、體積計(jì)算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，（3）小題，體積計(jì)算應(yīng)用了等積法，實(shí)現(xiàn)了化難為易。