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【題目】已知函數

(1)求的最小值;

(2)求證:x>0時,

【答案】(1) 當x=ln2時,f(x)有極小值也是最小值為f(ln2)=2(2﹣ln2);(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)對函數求導,列出表格得到導函數在定義域內的正負情況,從而得到函數的最值。(2)構造函數設(x>0),研究這個函數的單調性,找到函數的最值,使得函數的最小值大于0即可.

解析:

(1)由f(x)=ex﹣2x+2(x∈R).得f′(x)=ex﹣2,

令f′(x)=ex﹣2=0得,x=ln2,

列表如下

x

ln2

ln2,+∞)

-

0

+

單調遞減

極小值

單調遞增

故當x=ln2時,f(x)有極小值也是最小值為f(ln2)=2(2﹣ln2);

(2)證明:設(x>0),則g′(x)=ex﹣2x+2,

由(1)知g′(x)=ex﹣2x+2有最小值g′(ln2)=2(2﹣ln2),

于是對于x0,都有g′(x)0,所以g(x)在(0,+∞)上遞增,

而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0,

即x0時,ex>x2﹣2x+1.

練習冊系列答案
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