Question

國際上鉆石的重量計量單位為克拉，已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（I）寫出v關于w的函數(shù)關系式；
（II）若把一顆鉆石切割成重量比為1：x（x≥1）的兩顆鉆石，價值損失的百分率為y，寫出y關于x的函數(shù)關系式；
（III）試證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1：1切割，價值損失的百分率最大．
（注：價值損失的百分率=×100%，在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由題意可設價值與重量的關系式為：y=kx²，再根據(jù)3克拉的價值是54000美元求得k值，即可求得此鉆石的價值與重量的函數(shù)關系式；
（II）先求按重量比為1：x切割后的價值，可得價值損失，利用價值損失的百分率=×100%，可得y關于x的函數(shù)關系式；
（III）利用基本不等式，可證結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：依題意設v=kw²，又當w=3時，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²（w＞0）；
（II）解：設這顆鉆石的重量為a克拉，則按重量比為1：x切割后的價值為6000（）²+6000（）²，
價值損失為6000a²-[6000（）²+6000（）²]
∴價值損失的百分率為y={6000a2-[6000（）²+6000（）²]}÷6000a2×100%=
∴y=（x≥1）；
（III）證明：由（II）y==
∵x≥1，∴
∴≤，等號當且僅當x=1時成立，此時y有最大值．
故當重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大．
點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應用，考查基本不等式求最值，確定函數(shù)解析式是關鍵．