Question

甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時(shí)即贏得這場(chǎng)游戲比賽，比賽隨之結(jié)束；同時(shí)規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過(guò)10次，即經(jīng)10次比賽，得分多者贏得這場(chǎng)游戲，得分相等為和局．已知每次比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），乙獲勝的概率為q（q=1-p）．假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，比賽經(jīng)ξ次結(jié)束．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以P（ξ=k）記比賽經(jīng)k次結(jié)束的概率，若k為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)，因而有P（ξ=k）=0，考慮兩次比賽結(jié)果：①甲連勝或乙連勝兩次，稱(chēng)為有勝負(fù)的再次，②甲乙各勝一次，稱(chēng)為無(wú)勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情況，分別求出相應(yīng)的概率，比賽以k次結(jié)束，k必為偶數(shù)，則1，2兩次，3，4兩次，…，k-3，k-2兩次均未分勝負(fù)，從而求出P（ξ=k），列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
（2）令2pq=x，根據(jù)Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

，以及則0＜x≤

1

2

，求出Eξ的取值范圍．

解答：解：（1）以P（ξ=k）記比賽經(jīng)k次結(jié)束的概率，
若k為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)，因而有P（ξ=k）=0．
考慮兩次比賽結(jié)果：
①甲連勝或乙連勝兩次，稱(chēng)為有勝負(fù)的再次，結(jié)果出現(xiàn)的概率為p²+q²；
②甲乙各勝一次，稱(chēng)為無(wú)勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情況，故出現(xiàn)的概率為2pq．
比賽以k次結(jié)束，k必為偶數(shù)，則1，2兩次，3，4兩次，…，k-3，k-2兩次均未分勝負(fù)．
若k≠10，則第k-1，k兩次為有勝負(fù)的兩次，從而有
P（ξ=k）=(2pq)

k

2

-1（p²+q²）．
若k=10，比賽必須結(jié)束，所以P（ξ=20）=（2pq）⁴．
ξ其分布表為

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	0	p2+q2	0	2pq （p2+q2）	0	4 p2q 2 （p2+q2）	0	8 p3q 3 （p2+q2）	0	16 p4q 4

綜上所述Eξ=（p²+q²）

4

i=1

2i(2pq)i-1+10（2pq）⁴．
（2）令2pq=x，則0＜x=2pq≤

1

2

（p+q）²=

1

2

，
Eξ=（1-x）

4

i=1

2ixi-1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1-x5)

1-x

∵0＜x≤

1

2

，且Eξ隨x增加而增加，所以2＜Eξ≤

31

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，這也是高中常見(jiàn)的題型，解題時(shí)認(rèn)真細(xì)致，屬于中檔題．