Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標為(2，0)且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性.

(1)求c的值；

(2)在函數(shù)f(x)的圖象上，是否存在一點M(x₀,y₀)，使得f(x)在點M的切線斜率為3b?若存在，求M的坐標；若不存在，說明理由；

(3)求|AC|的取值范圍.

Answer 1

解：(1)∵f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性,

∴x=0是f(x)的一個極值點，故f′(0)=0，                                         

即2ax²+2bx+c=0有一個解x=0，則c=0.                                         

(2)∵f(x)交x軸于點B(2，0)，∴8a+4b+d=0，即d=-4(b+2a).

令f′(x)=0，得2ax²+2bx=0,x₁=0,x₂=.

∵f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，

∴∴-6≤≤-3.                                                    

假設存在點M(x₀,y₀)，使得f(x)在點M的切線斜率為3b，則f′(x₀)=3b，

即3ax₀²+2bx₀-3b=0.∵Δ=(2b)²-4×3a×(-3b)=4b²+36ab=4ab(+9).

而-6≤≤-3，∴Δ＜0.

故不存在點M(x₀,y₀)，使得f(x)在點M的切線斜率為3b.                           

(3)設A(α,0),C(β,0)，依題意可令

f(x)=α(x-α)(x-2)(x-β)=a［x³-(2+α+β)x²+(2α+2β+αβ)x-2αβ］,

則即

∴|AC|=|α-β|=.

∵d=-4(b+2a),-6≤≤-3，

∴當=-6時，|AC|_max=43；當=-3時，|AC|_min=3.

故3≤|AC|≤.