已知函數(shù),f(X)=log2x的反函數(shù)為f-1(x),等比數(shù)列{an}的公比為2,若f-1(a2)•f-1(a4)=210,則2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009=( 。
A、21004×2008B、21005×2009C、21005×2008D、21004×2009
分析:本題由函數(shù)f(X)=log2x可確定反函數(shù)f-1(x),從而利用f-1(a2)•f-1(a4)=210得到等比數(shù)列第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的等式關(guān)系,并結(jié)合公比為2求出通項(xiàng)an=2n-1,由此求出f(a1)+f(a2)+…+f(a2009的值,進(jìn)而可得答案.
解答:解:由f(X)=log2x得f-1(x)=2x,所以f-1(a2)•f-1(a4)=2a22a4=2a2+a4=210,所以a2+a4=10,
又公比q=2,所以a1=1,
故an=2n-1,
所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2009=log21+log221+log222+log223++log222008=1+2+3++2008=
(1+2008)×2008
2
=1004×2009;
所以2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)=21004×2009
故選D.
點(diǎn)評:本題主要結(jié)合反函數(shù)知識考查了對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),并兼顧了對等比數(shù)列知識的考查,綜合性較強(qiáng),有一定難度,易在計(jì)算中出現(xiàn)失誤.
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已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對給定的實(shí)數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f-1(ax)互為反函數(shù),則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對任何a>0,滿足“a積性質(zhì)”.求y=f(x)的表達(dá)式.

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17、已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖象如圖所示,則方程f[g(x)]=0有且僅有
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個根;方程f[f(x)]=0有且僅有
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個根.

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(2012•上海)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、B(
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,5)、C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x),x∈R,有下列4個命題:
①若f(1+2x)=f(1-2x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
②y=f(x-2)與y=f(2-x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
③若y=f(x)為偶函數(shù),且y=f(2+x)=-f(x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;
④若y=f(x)為奇函數(shù),且f(x)=f(-x-2),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
其中正確命題的個數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x3+1.設(shè)f(x)的反函數(shù)是y=g(x),則g(-28)=
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