Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-）+sin²x-cos²x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（II）若f（a）=，2a是第一象限角，求sin2a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用兩角差的余弦公式，二倍角公式化簡函數(shù)f（x）=sin（2x- ），由2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，求出
函數(shù)f（x）的減區(qū)間．
（II）根據(jù)sin（2a- ）=，2kπ-＜2a-＜2kπ+，k∈z，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 求出cos（2a- ）
的值，由sin2a=sin[（2a- ）+]，利用兩角和的正弦公式求得結(jié)果．
解答：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=cos（2x-）+sin²x-cos²x= cos2x+sin2x-cos2x 
=sin2x-cos2x=sin（2x- ），∴當(dāng) 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，
 即 kπ+≤x≤kπ+  時，函數(shù) f（x）遞減．
故，所求函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ+≤x≤kπ+]，k∈z．
（II）因?yàn)?a是第一象限角，且 sin（2a- ）=，所以，2kπ-＜2a-＜2kπ+，k∈z．
由 f（a）=sin（2a- ）=，得cos（2a- ）=．所以，sin2a=sin[（2a- ）+]=．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學(xué)生能正確運(yùn)用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進(jìn)行化簡求值．