設斜率為的直線交橢圓：于兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設、都存在）．

（1）求×的值．

（2）把上述橢圓一般化為（＞＞０），其它條件不變，試猜想與關系(不需要證明)．請你給出在雙曲線（＞０，＞０）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

 

【答案】

 

（1）

（2）略

【解析】解（一）：（1）設直線方程，代入橢圓方程并整理得:

,

,又中點M在直線上，所以，從而可得弦中點M的坐標為，，所以

解（二）設點，中點 則

   

又與作差得  所以

（2）對于橢圓，   

已知斜率為的直線交雙曲線（＞０，＞０）于兩點，點 為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標原點，假設、都存在）．

則×的值為．

（解一）、設直線方程為，代入（＞０，＞０）方程并整理得：

，，

所以，即   

(解二）設點 中點

 則      

又因為點在雙曲線上，則與作差得

    即  

 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆浙江效實中學高二上期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知是橢圓上一點，且點到橢圓的兩個焦點距離之和為；

（1）求橢圓方程；

（2）設為橢圓的左頂點，直線交軸于點，過作斜率為的直線交橢圓于

兩點，若，求實數(shù)的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省臺州市高三上學期期末文科數(shù)學試卷 題型：選擇題

設斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，且這兩個交點在軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為

 A、       B、      C、     D、

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設線段的中點為,連結(jié),試問當為何值時,直線過橢圓的頂點?

(Ⅲ) 過坐標原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于，求證：

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年天津市高三第三次月考文科數(shù)學 題型：解答題

已知是橢圓的左焦點，是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為，點在軸上，，三點確定的圓恰好與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在過作斜率為的直線交橢圓于兩點，為線段的中點，設為橢圓中心，射線交橢圓于點，若，若存在求的值,若不存在則說明理由．

 

 

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