已知橢圓E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的離心率e=
3
2
,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)當圓C與y軸相切的時候,求t的值;
(Ⅲ)若O為坐標原點,求△OMN面積的最大值.
分析:(Ⅰ)由橢圓E的離心率e=
3
2
,知
a2-1
a
=
3
2
,由此能求出橢圓E的方程.
(Ⅱ)聯(lián)立方程
x2
4
+y2=1
x=2t
,得M,N的坐標分別為(2t,
1-t2
),(2t,-
1-t2
),再由圓C的直徑為MN,且與y軸相切,能求出t的值.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得△OMN的面積S=
1
2
×2t×2
1-t2
≤2×
t2+1-t2
2
=1,由此能求出△OMN的面積的最大值為1.
解答:解:(Ⅰ)∵橢圓E的離心率e=
3
2
,
a2-1
a
=
3
2
,
解得a=2,
故橢圓E的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)聯(lián)立方程
x2
4
+y2=1
x=2t
,得
x=2t
y=±
1-t2
,
即M,N的坐標分別為(2t,
1-t2
),(2t,-
1-t2
),
∵圓C的直徑為MN,且與y軸相切,
∴2t=
1-t2
,∵t>0,∴t=
5
5

(Ⅲ)由(Ⅱ)得△OMN的面積S=
1
2
×2t×2
1-t2
≤2×
t2+1-t2
2
=1,
當且僅當t=
1-t2
t=
2
2
時,等號成立,
故△OMN的面積的最大值為1.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,考查三角形面積的最大值的求法,解題時要認真審題,注意等價轉化思想的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點是該橢圓的焦點,設P是雙曲線G上異于頂點的任一點,直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設切點為M、N.
(1)若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a
3
)的離心率e=
1
2
.直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
 (1)求橢圓E的方程;
 (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點A,B,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•佛山二模)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個交點為F1(-
3
,0)
,而且過點H(
3
,
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設橢圓E的上下頂點分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點,直線PA1,PA2分別交x軸于點N,M,若直線OT與過點M,N的圓G相切,切點為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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