Question

【題目】已知有窮數(shù)列：，，，……，的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足條件：

①；②.

（1）若，，求出這個(gè)數(shù)列；

（2）若，求的所有取值的集合；

（3）若是偶數(shù)，求的最大值（用表示）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)通項(xiàng)公式求具體的項(xiàng)；（2）根據(jù)題意分類討論，列出所有可能的情況建立關(guān)于的方程；（3）假設(shè)從到恰用了次遞推關(guān)系，根據(jù)的奇偶性分類討論.

試題解析：

解：由①知；由②知，，整理得解得，或，當(dāng)時(shí)，不滿足舍去；∴這個(gè)數(shù)列為；

若，由①知，∵

，如果由計(jì)算沒有用到或者恰用了次，顯然不滿足條件；∴由計(jì)算只能恰好次或者次用到，共有下面4種情況：

， ，，則，解得；

若，，，則，解得；

若，，，則，解得；

若，，，則，解得；

綜上，的所有取值的集合為；

依題意，設(shè)，由知，，假設(shè)從到恰用了次遞推關(guān)系，用了次遞推關(guān)系，則有其中,

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，無正數(shù)解，不滿足條件；

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，由得，

，又當(dāng)時(shí)，若，，

有，，即∴的最大值是，即.