在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）。

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)。

 

【答案】

(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）直線MO的方程：，與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線AB的方程為：，說明直線AB恒過定點(diǎn)（1,0）。

【解析】

試題分析：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以拋物線方程為

（2）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，其中，

直線MO的方程：，將與聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo)。

同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，則直線AB的方程為：

整理得，故直線AB恒過定點(diǎn)（1,0）。

考點(diǎn)：本題主要考查直線方程，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)。（2）證明直線過定點(diǎn)問題時(shí)，巧妙地假設(shè)，并應(yīng)用假設(shè)字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，值得學(xué)習(xí)。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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