Question

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用，需了解年宣傳費(fèi)（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷量（單位：噸）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響.對(duì)近6年宣傳費(fèi)和年銷量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣傳費(fèi)x（萬(wàn)元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量y（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)（萬(wàn)元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關(guān)系式即，對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸的概率.

（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（Ⅲ）若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200（萬(wàn)元），且每生產(chǎn)1（噸）產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20（萬(wàn)元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費(fèi)），銷售收入為（萬(wàn)元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），2019年該公司計(jì)劃投入萬(wàn)元宣傳費(fèi)，你認(rèn)為該決策合理嗎？請(qǐng)說明理由.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不合理

【解析】

(Ⅰ)利用組合知識(shí)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅱ）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令得，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出變量的平均數(shù)，求出最小二乘法所需要的數(shù)據(jù)，可得線性回歸方程的系數(shù),再根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程；（Ⅲ）設(shè)該公司的年利潤(rùn)為，由利潤(rùn)=銷售收入-總成本，求得的解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得時(shí)，取最大值，從而可得結(jié)果.

(Ⅰ)記事件A表示“至多有一年年銷量低于20噸”，由表中數(shù)據(jù)可知6年中有2年的年銷量低于20噸，故

（Ⅱ）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令得，由題中數(shù)據(jù)得：，，

，，

所以，由,

得,故所求回歸方程為.

（Ⅲ）設(shè)該公司的年利潤(rùn)為，因?yàn)槔麧?rùn)=銷售收入-總成本，所以由題意可知

,

當(dāng)即時(shí)，利潤(rùn)取得最大值500（萬(wàn)元），故2019年該公司計(jì)劃投入萬(wàn)元宣傳費(fèi)的決策不合理.