Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+4]的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=x²-2x-3，可得f′（1）=-4，f（1）=-

2

3

．利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程；
（2）分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可得出單調(diào)區(qū)間；
（3）對(duì)t分類討論，利用（2）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3．
∴f′（x）=x²-2x-3，f（1）=-

2

3

．
∴f′（1）=-4，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y+

2

3

=-4（x-1），化為12x+3y-10=0．
（2）令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3）．
（3）當(dāng)t+4≤-1，即t≤-5時(shí)，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1]單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=t時(shí)，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當(dāng)t≥3，函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞]單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=t時(shí)，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當(dāng)-5＜t＜-3時(shí)，-1＜t+4＜1．∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，-1]單調(diào)遞增，在[-1，t+4]上單調(diào)遞減，
而f（t+4）-f（t）=

1

3

(t+4)3-(t+4)2-3(t+4)+3-

1

3

t3+t²+3t-3=4(t+1)2-

32

3

＞0．
∴函數(shù)f（x）的最小值為{f（t），f（t+4）}_min=f（t）．
當(dāng)-3≤t≤3時(shí)，1＜t+4＜7．∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，3）單調(diào)遞減，在（3，t+4]單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（3）=9-9-9+3=-6．
綜上可得：當(dāng)t+4≤-1，即t≤-5時(shí)，f（x）的最小值為f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當(dāng)t≥3，f（x）的最小值為f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當(dāng)-5＜t＜-3時(shí)，-1＜t+4＜1，函數(shù)f（x）的最小值為f（t）．
當(dāng)-3≤t≤3時(shí)，1＜t+4＜7，函數(shù)f（x）的最小值為f（3）=-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．