Question

11．已知△ABC中，$AB=1，BC=\sqrt{3}，BD$是AC邊上的中線．
（1）求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$； 
（2）若$∠A=\frac{2π}{3}$，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用△ABD的面積與△CBD的面積相等，即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，即可求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）利用余弦定理，AB²+AC²-2•AB•AC•cos∠A=BC²，解得AC=1，又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以$AD=\frac{1}{2}$，即可求出BD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）因?yàn)锽D是AC邊上的中線，所以△ABD的面積與△CBD的面積相等，
即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，
所以$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$．                                                      …（6分）
（2）在△ABC中，因?yàn)锳B=1，$BC=\sqrt{3}$，
利用余弦定理，AB²+AC²-2•AB•AC•cos∠A=BC²，解得AC=-2（舍）或AC=1，
又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以$AD=\frac{1}{2}$，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos∠A，
所以$BD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．                                                               …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．