Question

（08年寶山區(qū)模擬理 ） （18分）已知橢圓C：(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍.

（3）如圖，過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時(shí)a,b滿足的條件。

 

Answer 1

解析：（1）由題意得，解得………………………3分

所求的方程為………………………4分

（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：……5分

由得.…………………………………6分

,（1）……………7分

又

由 ∴………………………8分

所以

                      

（2）…………………………………………………………………………10分

由（1）（2）得：�！�………………………………………11分

（3）由橢圓的對(duì)稱性可知PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等�！�………………12分

當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，直線PQ的方程為，由d=1得，……14分

當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得(1)，同理(2) ……………15分

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡(jiǎn)得，………17分

，即。

綜上，d=1時(shí)a,b滿足條件………………………………………………………18分