Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足關(guān)系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比為f（t），作數(shù)列{bn}，使 ，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；
（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，

∴a2=

又3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t ①

∴3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t ②

①﹣②得：3tan﹣（2t+3）an﹣1=0，

∴ ，（n=2，3，…）

∴{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1、公比為 的等比數(shù)列

（2）解：∵f（t）= ，

∴bn=f +bn﹣1．

∴數(shù)列{bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為 的等差數(shù)列．

∴bn=1+ （n﹣1）=

（3）解：∵bn= ，

∴數(shù)列{b2n﹣1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和 ，公差均為 的等差數(shù)列，

于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1

=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）

=﹣ （b2+b4+…+b2n）

=﹣

=﹣ （2n2+3n）

【解析】（1）通過(guò)3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t與3tSn﹣1﹣（2t+3）Sn﹣2=3t作差、整理得 （n=2，3，…），進(jìn)而可得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）可知bn=f +bn﹣1 ， 即數(shù)列{bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為 的等差數(shù)列，進(jìn)而即得結(jié)論；（3）通過(guò)bn= 可知數(shù)列{b2n﹣/span>1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和 、公差均為 的等差數(shù)列，并項(xiàng)取公因式，計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．