Question

偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-4）=f（1）=0，且在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上分別遞減和遞增，則不等式xf（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)，并結(jié)合題中給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，再由xf（x）＜0得到x與f（x）異號(hào)得出結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）即f（4）=f（-1）=0，
又∵f（x）在區(qū)間[0，3]與[3，+∞）上
分別遞減和遞增得到圖象如圖：
由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)要xf（x）＜0只需f（x）＜0
即x∈（1，4），
當(dāng)x＜0時(shí)，可得x∈（-∞，-4）∪（-1，0）
故答案為：（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)的圖象，并利用數(shù)形結(jié)合求解．