【題目】設函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若,證明:.
【答案】(1) (2)見證明
【解析】
(1)在上存在兩個極值點等價于在有兩個根,分離參數(shù),分析函數(shù)的單調性及極值,即可得出取值;
范圍.(2)即,等價于,令,利用導數(shù)求函數(shù)的最值,證明最大值小于0即可.
(1)由題意可知,,,
在上存在兩個極值點等價于在有兩個根,
由可得,,令,
則,令,
可得,當時,,
所以在上單調遞減,且,
當時,,,單調遞增;
當時,,,單調遞減;
所以是的極大值也是最大值,又當,當 大于趨向于,
要使在有兩個根,只需,
所以的取值范圍為;
(2)證明:即,等價于,
令,,
當時,,單調遞增,所以,
當時,,令,
,又,
取,且使,即,
則有,
因為,故存在唯一零點,
即有唯一的極值點且為極小值點,
由可得,,故,
因為,故為上的增函數(shù),
所以,所以.
綜上,當時,總有.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市教育局衛(wèi)生健康所對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查,隨機抽取了100名學生,他們身高都處于五個層次,根據(jù)抽樣結果得到如下統(tǒng)計圖表,則從圖表中不能得出的信息是( )
A. 樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)
B. 樣本中層次身高人數(shù)最多
C. 樣本中層次身高的男生多于女生
D. 樣本中層次身高的女生有3人
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調查煤礦公司員工的飲食習慣與月收入之間的關系,隨機抽取了30名員工,并制作了這30人的月平均收入的頻率分布直方圖和飲食指數(shù)表(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主).其中月收入4000元以上員工中有11人飲食指數(shù)高于70.
20 | 21 | 21 | 25 | 32 | 33 |
36 | 37 | 42 | 43 | 44 | 45 |
45 | 58 | 58 | 59 | 61 | 66 |
74 | 75 | 76 | 77 | 77 | 78 |
78 | 82 | 83 | 85 | 86 | 90 |
(Ⅰ)是否有95%的把握認為飲食習慣與月收入有關系?若有請說明理由,若沒有,說明理由并分析原因;
(Ⅱ)以樣本中的頻率作為概率,從該公司所有主食蔬菜的員工中隨機抽取3人,這3人中月收入4000元以上的人數(shù)為,求的分布列與期望;
(Ⅲ)經調查該煤礦公司若干戶家庭的年收入(萬元)和年飲食支出(萬元)具有線性相關關系,并得到關于的回歸直線方程:.若該公司一個員工與其妻子的月收入恰好都為這30人的月平均收入(該家庭只有兩人收入),估計該家庭的年飲食支出費用.
附:
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是半圓的直徑,,是將半圓圓周四等分的三個分點.
(1)從這5個點中任取3個點,求這3個點組成直角三角形的概率;
(2)在半圓內任取一點,求的面積大于的概率.
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【題目】某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶,根據(jù)用戶對產品的滿意度評分,得到地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.
地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表
滿意度評分分組 | |||||
頻數(shù) | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 |
(1)在圖中作出地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可).
地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:
滿意度評分 | 低于70分 | 70分到89分 | td style="width:88.95pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; border-bottom-style:solid; border-bottom-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle">|
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
公司負責人為了解用戶滿意度情況,從地區(qū)中調查8戶,其中有2戶滿意度等級是不滿意,求從這8戶中隨機抽取2戶檢查,抽到不滿意用戶的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列是等差數(shù)列,且, , , .
求(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】教材曾有介紹:圓上的點處的切線方程為.我們將其結論推廣:橢圓()上的點處的切線方程為,在解本題時可以直接應用.已知,直線與橢圓:()有且只有一個公共點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設為坐標原點,過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、,且與交于點.當變化時,求面積的最大值;
(3)若是橢圓上不同的兩點,軸,圓過且橢圓上任意一點都不在圓內,則稱圓為該橢圓的一個內切圓.試問:橢圓是否存在過左焦點的內切圓?若存在,求出圓心的坐標;若不存在,請說明理由.
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