Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，M、N分別是A₁B和AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁B與AC所成角；
（2）求證：MN∥平面BB₁C₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C₁，BC₁，證得AA₁C₁C是平行四邊形，得到AC∥A₁C₁，則∠BA₁C₁是A₁B與AC所成角或其補(bǔ)角，再由
三角形A₁BC₁是正三角形，即可得到所成的角；
（2）連接AB₁，交A₁B為M，連接B₁C，由中位線定理得到MN∥B₁C，再由線面平行的判定定理，即可得證．

解答： （1）解：連接A₁C₁，BC₁，
∵AA₁∥BB₁，BB₁∥CC₁，
∴AA₁∥CC₁，又AA₁=CC₁，
∴AA₁C₁C是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁是A₁B與AC所成角或其補(bǔ)角，
∵A₁B=A₁C₁=BC₁，
∴三角形A₁BC₁是正三角形，
∴∠BA₁C₁=60°，
∴A₁B與AC所成角是60°；
（2）證明：連接AB₁，交A₁B為M，連接B₁C，
在三角形AB₁C中，M，N分別為AC，AB₁的中點(diǎn)，則MN∥B₁C，
∵M(jìn)N?平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面平行的判定定理和空間兩異面直線所成的角的求法，注意運(yùn)用平面幾何中的有關(guān)定理，本題屬于中檔題．