Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（1）討論y=f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)t＞0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，2]的最小值h（t）．

Answer 1

分析 （1）討論t=0和t≠0時(shí)，f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷奇偶性；
（2）求出f（x）的分段形式，討論t≥4時(shí)，0＜t＜4時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（1）當(dāng)t=0時(shí)，f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)； 
 當(dāng)t≠0時(shí)，f（-x）=（-x-t）|-x|≠±f（x），則f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-tx，x≥0\\-{x^2}+tx，x＜0\end{array}\right.$．
當(dāng)$\frac{t}{2}≥2$，即t≥4時(shí)，f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以$h（x）=min\left\{{f（{-1}），f（{-2}）}\right\}=min\left\{{-1-t，4--2t}\right\}=\left\{\begin{array}{l}-1-t，4≤t＜5\\ 4-2t，t≥5\end{array}\right.$；
當(dāng)$\frac{t}{2}＜2$，即0＜t＜4時(shí)，f（x）在[-1，0]和$[{\frac{t}{2}，2}]$單調(diào)遞增，在$[{0，\frac{t}{2}}]$上單調(diào)遞減，
所以$h（x）=min\left\{{f（{-1}），f（{\frac{t}{2}}）}\right\}=min\left\{{-1-t，4--\frac{t^2}{4}}\right\}=-1-t$，
綜上所述，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-t，0＜t＜5}\\{4-2t，t≥5}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的思想方法，運(yùn)算能力，屬于中檔題．