Question

 

（本小題滿分13分）

已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：；

（3） 橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)橢圓的方程為 ，半焦距為.由已知條件得，

∴解得.                  ……………… ……………分

（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

 故可設(shè)直線的方程為  ，， 由

消去并整理得 ，∴ . ∵，得…5分

∴過拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是，

 ，即  ， ，解得兩條切線、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，……分

∴∴. ………8分

（3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由（2）知點(diǎn)必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為：，其中點(diǎn)為切點(diǎn).

令得，， 解得或  ，     ………10分

故不妨取，即直線過點(diǎn).綜上所述，橢圓上存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、     （、為切點(diǎn)），能使直線過點(diǎn).

 此時(shí)，兩切線的方程分別為和.              …………11分

 .     …………13分

 

【解析】略