Question

已知圓T：（x-4）²+（y-3）²=25過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)P（2，1）作兩條相互垂直的弦AC與BD，那么四邊形ABCD面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由題意畫(huà)出圖形，過(guò)圓T的圓心分別作AC與BD的垂線，利用勾股定理把AC、BD的長(zhǎng)度分別用T到AC和BD的距離表示，求出AC²+BD²為定值，運(yùn)用基本不等式求出AC•BD的最大值，代入四邊形ABCD面積后得四邊形ABCD面積的最大值．

解答： 解：如圖：
過(guò)圓T的圓心T作TF⊥AC，TH⊥BD．
不妨設(shè)TF=d₁，TH=d₂，
則(

AC

2

)2=R2-d12⇒AC2=4(25-d12)=100-4d12．
(

BD

2

)2=R2-d22⇒BD2=4(25-d22)=100-4d22．
由勾股定理可知，d12+d22=TP2=(4-2)2+(3-1)2=8．
∴AC²+BD²=200-4（d12+d22）=200-32=168為定值．
∴AC•BD≤

AC2+BD2

2

=84．
∴S四邊形ABCD=

1

2

AC•BD≤

1

2

×84=42．
故答案為：42．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．