Question

已知扇形的周長為c（c＞0），當扇形的圓心角為何值時，它有最大面積？并求出面積的最大值．

Answer 1

解法一：設扇形的半徑為R，圓心角為α，面積為S.

∵扇形的周長c=2R+l=2R+Rα（l為扇形的弧長），

∴R=.則S=Rl=R·Rα=R²α=·R²α=·.將上式整理可得2Sα²+（8S-c²）α+8S=0.

∵α為實數(shù)，∴方程2Sα²+（8S-c²）α+8S=0的判別式Δ=（8S-c²）²-64S²≥0.

解得0＜S≤.

當S=時，有·=.

則α²-4α+4=0，從而α=2.故當扇形的圓心角為2rad時，扇形的面積有最大值，最大值為.

解法二：設扇形的半徑為R，圓心角為α，弧長為l，面積為S.

∵c=2R+l，∴R=（l＜c）.

∴S=Rl=··l=（cl-l²）=-（l-）²+.

則l=時，S_max=.此時α==

故當扇形的圓心角為2rad時，扇形面積有最大值.