Question

11．已知圓C經過點$A（-\sqrt{3}，-1），B（1，\sqrt{3}）$，且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P，Q兩點．
（1）求圓C的方程；
（2）若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-2$（點O為原點），求實數(shù)k的值；
（3）過點（0，4）作動直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經過點M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程．
（2）由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=-2，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0．
（3）當直線m的斜率不存在時，圓C也是滿足題意的圓；當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=kx+4\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圓P經過點M（2，0）．

解答 解：（1）設圓心C（a，a），半徑為r．因為圓C經過點$A（-\sqrt{3}，-1），B（1，\sqrt{3}）$所以|AC|=|BC|=r，∴$\left\{\begin{array}{l}{（-\sqrt{3}-a）^2}+{（-1-a）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（\sqrt{3}-a）^2}={r^2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ r=2\end{array}\right.$，所以圓C的方程是x²+y²=4．-----（2分）
（2）因為$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=-2，且$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$的夾角為∠POQ，
所以cos∠POQ=-$\frac{1}{2}$，∠POQ=120°，所以圓心C到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，
又d=$\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，所以k=0．------（5分）
（聯(lián)立直線與圓的方程結合設而不求求解酌情給分）
（3）（�。┊斨本�m的斜率不存在時，直線m經過圓C的圓心C，此時直線m與圓C的交點為E（0，2），F(xiàn)（0，-2），EF即為圓C的直徑，而點M（2，0）在圓C上，即圓C也是滿足題意的圓----（7分）
（ⅱ）當直線m的斜率存在時，設直線m：y=kx+4，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ y=kx+4\end{array}\right.$，
消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，由△=64k²-48（1+k²）＞0，得$k＞\sqrt{3}$或$k＜-\sqrt{3}$．
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$①---（8分）
由①得${y_1}{y_2}=（k{x_1}+4）（k{x_2}+4）={k^2}{x_1}{x_2}+4k（{x_1}+{x_2}）+16=\frac{{16-4{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，②${y_1}+{y_2}=k{x_1}+4+k{x_2}+4=k（{x_1}+{x_2}）+8=\frac{8}{{1+{k^2}}}$，③
若存在以EF為直徑的圓P經過點M（2，0），則ME⊥MF，所以$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}=0$，
因此（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，-----（9分）
則$\frac{12}{{1+{k^2}}}+\frac{16k}{{1+{k^2}}}+4+\frac{{16-4{k^2}}}{{1+{k^2}}}=0$，所以16k+32=0，k=-2，滿足題意．----（10分）
此時以EF為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0，
即${x^2}+{y^2}-\frac{16}{5}x-\frac{8}{5}y+\frac{12}{5}=0$，亦即5x²+5y²-16x-8y+12=0．----（11分）
綜上，在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圓P經過點M（2，0）．----（12分）

點評 本題考查圓的方程的求法，考查實數(shù)k的值的求法，考查在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經過點M（2，0）的判斷與求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．