Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，線段B₁D₁上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=$\sqrt{2}$，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． AC⊥BE
• B． EF∥平面ABCD
• C． 異面直線AE，BF所成的角為定值
• D． 三棱錐B-AEF的體積為定值

Answer 1

分析 A．由正方體的性質(zhì)可得：AC⊥平面BDD₁B₁，可得BD⊥BE，即可判斷出正誤．
B．由EF∥BD，可得EF∥平面ABCD，即可判斷出正誤．
C．當(dāng)點(diǎn)E在D₁處，F(xiàn)為D₁B₁的中點(diǎn)時(shí)，異面直線AE，BF所成的角是∠FBC₁；當(dāng)E在上底面的中心時(shí)，F(xiàn)在B₁的位置，異面直線AE，BF所成的角是∠EAA₁，即可判斷出兩個(gè)角不相等．
D．三棱錐B-AEF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC×{S}_{△BEF}$，即可判斷出正誤．

解答 解：A．由正方體的性質(zhì)可得：AC⊥平面BDD₁B₁，BE?平面BDD₁B₁，∴BD⊥BE，因此A正確．
B．∵EF∥BD，EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，因此B正確．
C．當(dāng)點(diǎn)E在D₁處，F(xiàn)為D₁B₁的中點(diǎn)時(shí)，異面直線AE，BF所成的角是∠FBC₁；當(dāng)E在上底面的中心時(shí)，F(xiàn)在B₁的位置，異面直線AE，BF所成的角是∠EAA₁，顯然兩個(gè)角不相等，因此不是定值，不正確．
D．三棱錐B-AEF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC×{S}_{△BEF}$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{2}{3}$，為定值，因此正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了正方體的性質(zhì)、線面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、異面直線所成的角、三棱錐的體積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．