Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，若等比數(shù)列{a_n}的公比q＞2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂=6，6a₁+a₃=30，知

a1q=6 6a1+a1q2=30

，解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，由此能求出a_n．
（2）由等比數(shù)列{a_n}的公比q＞2，知an=2×3n-1．所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
∴

a1q=6 6a1+a1q2=30

，
解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，
∴an=3×2n-1，或an=2×3n-1．
（2）∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞2，∴

a1=2 q=3

，an=2×3n-1．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，
=log32n+log33

n(n-1)

2

=nlog₂3+

n(n-1)

2

．
∴bn=nlog32+

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意對數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．