Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①f（0）•f（1）＞0；②f（0）•f（1）＜0；③f（0）•f（3）＞0；④；f（0）•f（3）＜0；
⑤f（x）的極值為1和3．其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點及a、b、c的大小關(guān)系，由此可得結(jié)論

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當(dāng)1＜x＜3時，f'（x）＜0；當(dāng)x＜1，或x＞3時，f'（x）＞0
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）
∴1和3是函數(shù)的極值點，不是極值，故⑤錯誤，
所以f（x）極大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
f（x）極小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三個解a、b、c，那么結(jié)合函數(shù)f（x）草圖可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函數(shù)有個零點x=b在1～3之間，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0，故②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查函數(shù)的零點、極值點，解不等式，綜合性強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合可以使本題直觀．