Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²的周期和對稱軸；
（Ⅱ）若h（x）=（f（x）-sinx）cos（x-

π

3

），求使h（x）＞

1+ 3

4

成立的x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算化簡g（x）為Asin（ωx+φ）的形式，然后求正確以及對稱軸；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，化簡h（x）的解析式，然后解三角不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=cosx-sinx，
所以   g（x）=）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）²
=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，\
所以周期為T=

2π

2

=π；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得對稱軸為x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）；
（Ⅱ）h（x）=（f（x）-sinx）cos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x
=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
由h（x）＞

1+ 3

4

得sin（2x+

π

6

）＞

3

2

，
所以2kπ+

π

3

＜2x+

π

6

＜2kπ+

2π

3

，解得kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，
所以滿足條件的x的集合為{x|kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及三角函數(shù)恒等式的化簡以及相關(guān)性質(zhì)的解答．