已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；
（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；
（3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有.

（1）是奇數(shù)，則，， 若是偶數(shù)，則，，
(2)根據(jù)數(shù)列的求和公式來證明不等式
(3)要證明對(duì)于當(dāng)(N)時(shí)，都有.，則要對(duì)于其通項(xiàng)公式分情況來得到其通項(xiàng)公式的表達(dá)式證明。

解析試題分析：⑴設(shè)，，則：，
分兩種情況： 是奇數(shù)，則，，
若是偶數(shù)，則，，
⑵當(dāng)時(shí)，

∴
⑶∵，∴，∴
由定義可知：  ∴
∴
∴
∵，∴，
綜上可知：當(dāng)時(shí)，都有
考點(diǎn)：數(shù)列的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：本試題主要是考查了等差數(shù)列和數(shù)列的求和，以及數(shù)列與不等式的證明，屬于中檔題。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)= m·log2x + t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，1）、點(diǎn)B（16，3）及點(diǎn)C（Sn，n），其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*.
（Ⅰ）求Sn和an；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , bn = f(an) – 1, 求不等式Tn£ bn的解集，n∈N*.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，＝1，且．
（1）求，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）解不等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，前項(xiàng)的和為，對(duì)任意的，，，總成等差數(shù)列.
（1）求的值并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）證明：.

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已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 .
（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式
對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列 的前項(xiàng)和為，設(shè)，且.
(1)證明{}是等比數(shù)列；
(2)求與.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的首項(xiàng)為，對(duì)任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(ii)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，和的等差中項(xiàng)為，且．令數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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