Question

已知函數(shù)f（x）=sin（

π

2

-ωx）（ω＞0）任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的最小距離為

π

2

．
（Ⅰ）若f（α）=

1

2

，α∈[-π，π]，求α的取值集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）-cos（ωx+

π

3

）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離求出最小正周期，進(jìn)一步確定α的集合．
（Ⅱ）通過(guò)三角恒等變換求出正弦型函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用整體思想求單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=sin（

π

2

-ωx）=cosωx，任意兩個(gè)零點(diǎn)之間的最小距離為

π

2

，
所以：f（x）的最小正周期為π，故T=

2π

ω

=π，
又ω＞0，
故ω=2
由f（α）=

1

2

，得cos2α=

1

2

，
所以2α=2kπ±

π

3

，（k∈Z），
即α=kπ±

π

6

又α∈[-π，π]，
所以α∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．
（Ⅱ）函數(shù) y=cos2x-cos（2x+

π

3

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦函數(shù)的最小正周期的求法，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．