Question

已知α、β是△ABC的兩個內(nèi)角，則下列不等式恒成立的有

 

．
①sinα+sinβ＞sin（α+β）；②cosα+cosβ＞cos（α+β）；
③sinα+sinβ＞cos（α+β）；④cosα+cosβ＞sin（α+β）．
（把你認(rèn)為恒成立的不等式的序號都填上）

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：將sin（α+β），cos（α+β）展開，α、β是△ABC的兩個內(nèi)角，對所有選項逐一分析即可．

解答： 解：①sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα，α，β∈（0，π）
所以，0＜sinβ＜1，0＜sinα＜1，-1＜cosα＜1，-1＜cosβ＜1，
sinα（cosβ-1）＜0⇒sinαcosβ＜sinα，同理sinβcosα＜sinβ，
所以sin（α+β））=sinαcosβ+sinβcosα＜sinα+sinβ，故①成立．
②用放縮法cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ所以②成立．
③對于α，β可以令他們都等于15°，則知道③不成立
④當(dāng)α=

2π

3

，β=

π

6

時，cosα+cosβ=

3

2

-

1

2

，sin（α+β）=

1

2

．故④錯誤．
故答案為：①②

點評：本題主要考察兩角和與差的余弦函數(shù)，考查分析推論能力，屬于中檔題．