Question

（理）已知函數(shù)．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）右圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個(gè)程序框圖，試構(gòu)造一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，使得該程序能正常運(yùn)行且輸出的結(jié)果恰好為0．請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

解：（1）由
得 ，
則 ，任取 ，
都有f（-x）==-f（x），則該函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1?2-x₁²＞2-x₂²＞1，?ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又 ，
所以 ，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且 即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因?yàn)楣�差不為零的等差�?shù)列{a_n}必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)在 中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)盡可能的接近原點(diǎn)．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在檢驗(yàn)-x與x的函數(shù)值之間的關(guān)系，得到奇函數(shù)．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)出已知大小關(guān)系的任意兩個(gè)變量，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及借助于程序框圖考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，抓住解題的主要方法．