已知，曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸、軸分別交于、兩點，若曲線與直線沒有公共點，求證：．

 

【答案】

（Ⅰ），．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為．利用依題意點分別與點、連線的斜率的乘積為，轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，整理可得．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為．

依題意，且，      ３分

整理得．所以，曲線的方程為：，．   5分

（Ⅱ）由得，

，                  7分

由已知條件可知，，所以

，

從而，　　　即．                           13分

考點：1、求軌跡方程，2、直線與橢圓的位置關(guān)系，3、均值定理的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆廣西桂林十八中高二下學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)（理科） 題型：解答題

已知過曲線上任意一點作直線的垂線，垂足為,且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且

 為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知圓錐曲線上任意一點到兩定點、的距離之和為常數(shù)，曲線的離心率．

⑴求圓錐曲線的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過點的任意一條直線與圓錐曲線相交于、，試證明在軸上存在一個定點，使的值是常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分12分）已知過曲線上任意一點作直線的垂線，垂足為,且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且

 為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知圓錐曲線上任意一點到兩定點、的距離之和為常數(shù)，曲線的離心率．

⑴求圓錐曲線的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過點的任意一條直線與圓錐曲線相交于、，試證明在軸上存在一個定點，使的值是常數(shù)

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