Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若m∈Z，關(guān)于x的不等式f（x）≤0恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入m值，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)參數(shù)m分類討論，判斷函數(shù)的最大值，使最大值小于等于零即可．

解答 （1）∵m=1時(shí)，f（x）=lnx-x²-x+1（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2x-1=\frac{{-（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，
∴$x∈（{0，\frac{1}{2}}），f'（x）＞0$；$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$，..，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2}}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，f（x）的極大值秋$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{4}-ln2$，無(wú)極小值．
（2）∵f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m=\frac{{-2m{x^2}+（{1-2m}）x+1}}{x}$，
當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，無(wú)最大值，
∵f（x）≤0恒成立，
∴不成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，
∴$x∈（{0，\frac{1}{2m}}）$，f'（x）＞0；$x∈（{\frac{1}{2m}，+∞}），f'（x）＜0$，
∴f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{1}{2m}}）$上單調(diào)遞增區(qū)間$（{\frac{1}{2m}，+∞}）$上單調(diào)遞減，
f（x）的最大值為$f（{\frac{1}{2m}}）≤0$，即4mln2m≥1，
∵m∈Z，
∴顯然，m=1時(shí)，4ln2≥1成立，
∴m的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值，對(duì)恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和對(duì)參數(shù)的分類討論．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．