Question

7．設點P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是左右焦點，I是△PF₁F₂的內(nèi)心，若△IPF₁，△IPF₂，△IF₁F₂的面積S₁，S₂，S₃滿足2（S₁-S₂）=S₃，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意作出示意圖，利用平面幾何的知識利用三角形面積公式，代入已知式2（S₁-S₂）=S₃，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，設圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、
PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，
它們分別是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S₁=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|IF|=$\frac{1}{2}$|PF₁|r，
S₂=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|IG|=$\frac{1}{2}$|PF₂|r，
S₃=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|IE|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|r，
其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S₁-S₂=$\frac{1}{2}$S₃，
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|-$\frac{r}{2}$|PF₂|=$\frac{r}{4}$|F₁F₂|，
兩邊約去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=c⇒離心率為e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．考查學生的運算能力．