Question

(本小題滿分16分)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求證數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若……,求的最大值.

Answer 1

(Ⅰ)等比數(shù)列{b_n}的公比為,；(Ⅱ)見(jiàn)解析；
(Ⅲ)最大值是7.

試題分析： （1）根據(jù)韋達(dá)定理得到數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，進(jìn)而得到其通項(xiàng)公式。
（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，可知得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式，運(yùn)用定義證明。
（3）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和得到數(shù)列的和式，求解m的范圍。
解:(Ⅰ)由 知是方程的兩根,
注意到得 .……2分 
得.
等比數(shù)列{b_n}的公比為,……………………6分
(Ⅱ) …………9分
∵ 
數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列.            …………………………11分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,有
……=……
=…………………………13分
∵ ,整理得, 
解得.
的最大值是7.           …………16分.
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)韋達(dá)定理來(lái)求解得到數(shù)列bn的首項(xiàng)與第三項(xiàng)的值。進(jìn)而得到數(shù)列的an的通項(xiàng)公式。進(jìn)而根據(jù)前n項(xiàng)和得到數(shù)列的求和。