Question

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，△是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓為圓．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）若點(diǎn)是圓劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于端點(diǎn)，），直線分別交線段，橢圓于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)．

（ⅰ）求的最大值；

（ⅱ）試問(wèn)：..，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1），，（2）（�。�，（ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需兩個(gè)獨(dú)立條件. 由題意知，，，所以，，所以橢圓的方程為，求圓的方程，有兩個(gè)選擇，一是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心與半徑，二是求圓的一般方程，只需代入圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).本題兩個(gè)方法皆簡(jiǎn)單，如易得圓心，，所以圓的方程為

（2）（�。┍绢}關(guān)鍵分析出比值暗示的解題方向，由于點(diǎn)在軸上，所以，因此解題方向?yàn)槔�用斜率分別表示出點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo). 設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，聯(lián)立，消去并整理得，，解得點(diǎn),因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”， 所以的最大值為．（ⅱ）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分析與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和是否為常數(shù). 直線..的方程為，與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，所以、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．

試題解析：（1）由題意知，，，

所以，，所以橢圓的方程為， 2分

易得圓心，，所以圓的方程為． 4分

（2）解：設(shè)直線的方程為，

與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)， 6分

聯(lián)立，消去并整理得，，解得點(diǎn)，

9分

（ⅰ），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，

所以的最大值為． 12分

（ⅱ）直線的方程為，

與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)， 14分

所以、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．

故、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值，該定值為． 16分

考點(diǎn)：橢圓與圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系