Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．設(shè)數(shù)列bn=

an

，{b_n}的前n項和為T_n
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項；
（2）若λa_n-a_n+1≤0對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）求證：對任意n≥2的整數(shù)，b2+b3+…bn＜

2

3

(

3n-2

-1)
（4）是否存在實數(shù)M，使得對任何的n∈N^*，T_n＜M恒成立，如果存在求出最小的M，如果不存在請說明理由．．（此問不做）

Answer 1

分析：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，即證得結(jié)論，同時求出數(shù)列{

1

an

}的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入λa_n-a_n+1≤0，分離參數(shù)，得到λ≤

an+1

an

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；（3）把（1）求得的結(jié)果代入bn=

an

，求得數(shù)列{b_n}的通項公式，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明；（4）假設(shè)存在實數(shù)M使得T_n＜M，根據(jù)假設(shè)，利用不等式進行放縮，推出矛盾，即可說明結(jié)論．

解答：解：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)
所以{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，3為公差的等差數(shù)列
所以：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，即an=

1

3n-2

（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即λ≤

an+1

an

恒成立整理得：λ≤

3n-2

3n+1

=1-

3

3n+1

設(shè)f(x)=1-

3

3x+1

，作圖或求導(dǎo)可知，f（x）在x∈(-

1

3

，+∞)上單調(diào)遞增，
即當(dāng)n=1時，[1-

3

3n+1

]min=

1

4

所以λ的取值范圍為λ∈(-∞，

1

4

]
（3）①n=2時，左邊=b2=

1

4

=

1

2

＜右邊=

2

3

(

4

-1)=

2

3

，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k時，b2+b3+bk＜

2

3

(

3k-2

-1)
則n=k+1時，b2+b3+bk+bk+1＜

2

3

(

3k-2

-1)+bk+1=

2

3

(

3k-2

-1)+

1

3k+1

要證：n=k+1時也成立，只需證

2

3

(

3k-2

-1)+

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-1)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-1)-

2

3

(

3k-2

-1)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-

3k-2

)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3

3k+1 + 3k-2

)?

3k-2

＜

3k+1

顯然成立．
所以n=k+1時不等式也成立
綜合①②對任何的n≥2的整數(shù)b2+b3+bn＜

2

3

(

3n-2

-1)
（4）假設(shè)存在實數(shù)M使得T_n＜M，
由bn=

an

，得bn=

an

=

1 3n-2

=

2

2 3n-2

＞

2

3n-2 + 3n+1

=

2

3

(

3n+1

-

3n-2

)
所以，T_n=b₁+b₂+…+b_n＞

2

3

(

3×1+1

-

3×1-2

+

3×2+1

-

3×2-2

+…+

3n+1

-

3n-2

)=

2

3

(

3n+1

-1)
即

2

3

(

3n+1

-1)＜Tn，
所以若T_n＜M，則

2

3

(

3n+1

-1)＜M，對于事先給定M這是不可能的
所以不存在M使得對任何的n∈N^*，T_n＜M

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（4）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．