Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：①f（x）+f（2-x）=0；②f（x+2）=f（-x-4）；③當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x∈[-1，0]}\\{cos\frac{π}{2}x，x∈（0，1]}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5．

Answer 1

分析 由①f（x）+f（2-x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[-3，-1]上的解析式，畫(huà)出f（x）和y═（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，通過(guò)圖象觀察，可得它們有5個(gè)交點(diǎn)，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：①f（x）+f（2-x）=0，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤2-x≤1，f（2-x）=cos（2-x）=-cosx，
則f（x）=-f（2-x）=cosx；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，-1≤x＜0，f（2-x）=1-（2-x）²，
則f（x）=-f（2-x）=（2-x）²-1．
由②f（x+2）=f（-x-4），即為f（x）=f（-x-2），
當(dāng)-3≤x≤-2時(shí)，0≤-2-x≤1，f（-2-x）=cos（-2-x）=-cosx，
則f（x）=-f（-2-x）=-cosx；
當(dāng)-2＜x≤-1時(shí)，-1≤-2-x＜0，f（-2-x）=1-（-2-x）²，
則f（x）=f（-2-x）=1-（-2-x）²．
y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)
即為y=f（x）和y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
作出y=f（x）和y═（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，
通過(guò)圖象觀察，可得它們有5個(gè)交點(diǎn)，
即有5個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．