已知圓F的方程是x2+y2-2y=0,拋物線的頂點在原點,焦點是圓心F,過F引傾斜角為α的直線l,l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(在直線l上,這四個點從左至右依次為A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,則α的值為( 。
A、±arctan
2
2
B、
π
4
C、arctan
2
2
D、arctan
2
2
或π-arctan
2
2
分析:根據(jù)拋物線的焦點是圓心F,求出p,進而求出拋物線的解析式;據(jù)|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,求出AD的長度,A、D兩點是拋物線和直線的交點,聯(lián)立拋物線和直線,利用兩點間距離公式即可求出結(jié)果.
解答:解:∵圓Fx2+y2-2y=0 即x2+(y-1)2=1
∴F(0,1),r=1
∵拋物線以F點為焦點
p
2
=1
∴拋物線方程為:x2=4y
過F點的直線與拋物線相交于A、D兩點,
BC為圓F的直徑|BC|=2
∵|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直線l過F(0,1)則設(shè)直線解析式為:y=kx+1
A、D兩點是過F點的直線與拋物線交點
設(shè)A(x1,y1)D(x2,y2)則|AD|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=6
聯(lián)立y=kx+1和x2=4y,得x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4  x1+x2=4k
∴|AD|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(x1-x22+k2(x1-x22
(x1-x22(1+k2)
=
[(x1+x22- 4x1x2](1+k2
=
16(1+k2)2
=6
∴1+k2=
3
2

∴k=±
2
2

∴α的值為:arctan
2
2
或π-arctan
2
2

故選D.
點評:本題主要綜合考查直線與圓、拋物線以及數(shù)列的相關(guān)知識,關(guān)鍵是利用兩點間的距離公式;同時注意運用數(shù)形結(jié)合的方法解決此類問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:朝陽區(qū)二模 題型:單選題

已知圓F的方程是x2+y2-2y=0,拋物線的頂點在原點,焦點是圓心F,過F引傾斜角為α的直線l,l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(在直線l上,這四個點從左至右依次為A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,則α的值為( 。
A.±arctan
2
2
B.
π
4
C.a(chǎn)rctan
2
2
D.a(chǎn)rctan
2
2
或π-arctan
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知圓F的方程是x2+y2-2y=0,拋物線的頂點在原點,焦點是圓心F,過F引傾斜角為α的直線l,l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(在直線l上,這四個點從左至右依次為A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,則α的值為( )
A.±arctan
B.
C.a(chǎn)rctan
D.a(chǎn)rctan或π-arctan

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知圓F的方程是x2+y2-2y=0,拋物線的頂點在原點,焦點是圓心F,過F引傾斜角為α的直線l,l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(在直線l上,這四個點從左至右依次為A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,則α的值為( )
A.±arctan
B.
C.a(chǎn)rctan
D.a(chǎn)rctan或π-arctan

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)已知圓F的方程是x2+y2-2y=0,拋物線的頂點在原點,焦點是圓心F,過F作傾斜角為a的直線l,l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(在直線z上,這四個點從左至右依次為A、B、C、D),若|AB|,|BC|,|CD|成等差數(shù)列,則α的值為(    )

A.+arctan                                  B.

C.a(chǎn)rctan                                   D.a(chǎn)rctan或π-arctan

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