Question

(Ⅰ)設(shè)a₁，a₂，…a_n是各項(xiàng)均不為零的n(n≥4)項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0。若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列．
(ⅰ)當(dāng)n=4時(shí)，求的數(shù)值；
(ⅱ)求n的所有可能值．
(Ⅱ)求證：對(duì)于給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列．

Answer 1

解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：
一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d₀=0．
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d₀，a，a+d₀成等比數(shù)列，則a²=(a-d₀)(a+d₀)，由此得d₀=0．
(Ⅰ)(ⅰ)當(dāng)n=4時(shí)，由于數(shù)列的公差d≠0，故由“基本事實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a₂或a₃，
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，得(a₁+2d)²=a₁(a₁+3d)，
因d≠0，故由上式得a₁= -4d，即=-4，
此時(shí)數(shù)列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設(shè)．
②若刪去a₃，則由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，得(a₁+d)²=a₁（a₁+3d），
因d≠0，故由上式得a₁=d，即=1，
此時(shí)數(shù)列為d，2d，3d，4d，滿足題設(shè)；
綜上可知，的值為-4或1。
(ⅱ)若n≥6，則從滿足題設(shè)的數(shù)列a₁，a₂，…a_n中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，
故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列a₁，a₂，…a_n的公差必為0，這與題設(shè)矛盾，所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5．
又因題設(shè)n≥4，故n=4或5，
當(dāng)n=4時(shí)，由(ⅰ)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列；
當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，
則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a₃，從而a₁，a₂，a₄，a₅成等比數(shù)列，
故(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，及(a₁+3d)2=(a₁+d)(a₁+4d)，
分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得a₁d=d²及a₁d=-5d²，故d=0，矛盾．
因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列；
綜上可知，n只能為4．
(Ⅱ)假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d′的n項(xiàng)等差數(shù)列，
其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，這里，
則有，
化簡(jiǎn)，得，（*）
由知，與或同時(shí)為零或均不為零，
若=0且=0，則有，
即，得，從而，矛盾；
因此，與都不為零，
故由（*）式，得，
因?yàn)閙₁，m₂，m₃均為非負(fù)整數(shù)，
所以上式右邊為有理數(shù)，從而是一個(gè)有理數(shù)，
于是，對(duì)于任意的正整數(shù)n≥4，只要取為無理數(shù)，則相應(yīng)的數(shù)列b₁，b₂，…，b_n就是滿足要求的數(shù)列，例如，取b₁=1，，那么n項(xiàng)數(shù)列滿足要求．