Question

已知P（-5，0），點(diǎn)Q是圓（x-5）²+y²=36上的點(diǎn)，M是線段PQ的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)P的直線l和軌跡C有兩個交點(diǎn)A、B（A、B不重合），①若|AB|=4，求直線l的方程．②求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則P（-5，0）關(guān)于M的對稱點(diǎn)為Q（2x+5，2y），由此能求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程是y=k（x+5），由方程組

y=k(x+5) x2+y2=9

，得（1+k²）x²+10k²x+25k²-9=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線l的方程．
②由①得|PA|•|PB|=

1+k2

|x1+5|•

1+k2

|x2+5|，由此能求出

PA

•

PB

的值是16．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)M（x，y），則P（-5，0）關(guān)于M的對稱點(diǎn)為Q（2x+5，2y），
∵點(diǎn)Q是圓（x-5）²+y²=36上的點(diǎn)，
∴（2x+5-5）²+（2y）²=36，即x²+y²=9，
所以軌跡C的方程是x²+y²=9．…（3分）
（Ⅱ）①解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程是y=k（x+5），
由方程組

y=k(x+5) x2+y2=9

，得（1+k²）x²+10k²x+25k²-9=0，
由△=（10k²）²-4（1+k²）（25k²-9）＞0，得-

3

4

＜k＜

3

4

∴x1+x2=-

10k2

1+k2

，x1x2=

25k2-9

1+k2

，…（6分）
∵|AB|=4，∴

1+k2

|x1-x2|=4，
∴

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4，
∴

1+k2

•

(- 10k2 1+k2 )2- 4(25k2-9) 1+k2

=4，
解得k=±

1

2

，∴直線l的方程是y=±

1

2

(x+5)，
即直線l的方程是x+2y+5=0或x-2y+5=0．…（10分）
②解：由①可得　|PA|•|PB|=

1+k2

|x1+5|•

1+k2

|x2+5|
=（1+k²）|x₁x₂+5（x₁+x₂）+25|
=(1+k2)|

25k2-9

1+k2

-

50k2

1+k2

+25|=16．…（13分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|=16．
∴

PA

•

PB

的值是16．…（14分）
注：第②小題，如果考生證△PAD∽△PDB，從而得出|PD|²=|PA|•|PB|（其中D是直線l和圓相切時的切點(diǎn)），證明完整，得滿分，沒有證明，直接用|PD|²=|PA|•|PB|者，最多得（2分）．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．