Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x），同時滿足如下三個條件：
①f（x）是R上的偶函數(shù)；
②f（-1+x）=f（-1-x）；
③當x∈[-2，-1]時，f（x）=tx（x+2）．
若f′（

1

2

）=1，那么曲線y=f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和對稱之間的關(guān)系求出t，然后求出f（

1

2

）的值即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，f（-1+x）=f（-1-x）；
∴f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x），
即f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期是2；
則f′（

1

2

）=f′（-

3

2

）=1，
當x∈[-2，-1]時，f（x）=tx（x+2）．
∴此時函數(shù)的導數(shù)f′（x）=2tx+2t，
則f′（-

3

2

）=-3t+2t=1，解得t=-1，
即當x∈[-2，-1]時，f（x）=-x（x+2）．
則f（

1

2

）=f（-

3

2

）=

3

2

×(2-

3

2

)=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
則y=f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程為y-

3

4

=x-

1

2

，
即4x-4y+1=0．
故答案為：4x-4y+1=0

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性之間的關(guān)系，求出t是解決本題的關(guān)鍵．