已知橢圓
x=4cosθ
y=5sinθ
上兩個相鄰頂點為A、C,又B、D為橢圓上的兩個動點,且B、D分別在直線AC的兩旁,求四邊形ABCD面積的最大值.
分析:將橢圓的參數(shù)方程化成標準方程:
y2
25
+
x2
16
=1
,作出它的圖形,再設A(0,5),C(4,0),B、D為橢圓上位于AC的兩側的兩點.將四邊形ABCD分解,得它的面積S=S△ACD+S△ACB,從而得出ABCD面積S=
1
2
AC(h1+h2),其中h1、h2分別為點B、D到AC的距離.因此,當平行于AC的直線l1與橢圓相切于點B,平行于AC的直線l2與橢圓相切于點D時,四邊形面積達到最大值.然后設點B坐標和直線l1的方程,通過聯(lián)解方程組,可得點B(2
2
,
5
2
2
),點D(-2
2
,-
5
2
2
).最后求出直線AC的方程5x+4y-20=0,利用點到直線的距離公式和三角形面積公式,可求出四邊形ABCD面積的最大值.
解答:解:將橢圓
x=4cosθ
y=5sinθ
化成標準方程,得
y2
25
+
x2
16
=1
,作出它的圖形如右圖
設A(0,5),C(4,0),B、D為橢圓上兩點,且位于AC的兩側
則四邊形ABCD的面積S=S△ACD+S△ACB,而S△ACB=
1
2
AC•h1,S△ACD=
1
2
AC•h2
∴四邊形ABCD的面積S=
1
2
AC•h1+
1
2
AC•h2=
1
2
AC(h1+h2),其中h1、h2分別為點B、D到AC的距離
因此,當平行于AC的直線l1與橢圓相切于點B時,h1達到最大值;當平行于AC的直線l2與橢圓相切于點D時,h2達到最大值.
設點B(x1,y1),得直線l1的方程為:
y1y 
25
+
x1x 
16
=1

y 12
25
+
x 12
16
=1
K AC=-
5
4
=-
25x1
16y1
=Kl1
,
x1=2
2
y1=
5
2
2
,可得點B(2
2
5
2
2

∵直線AC的方程為y=-
5
4
x+5,即5x+4y-20=0,
∴點B到AC的距離為:
|5×2
2
+4×
5
2
2
-20|
52+42
=
41
41
(20
2
-20)
,即h1的最大值為
41
41
(20
2
-20)

同理,可得點D(-2
2
,-
5
2
2
),D到AC的距離為
41
41
(20
2
+20)
,即h2的最大值為
41
41
(20
2
+20)
,
∴四邊形ABCD的面積S的最大值為
1
2
AC[
41
41
(20
2
-20)
+
41
41
(20
2
+20)
]=
1
2
×
41
×
41
41
×40
2
=20
2
點評:本題給出橢圓的參數(shù)方程,以上頂點和右頂點的連線為對角線,得橢圓的內(nèi)接四邊形并求此四邊形面積的最大值,著重考查了橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關系等知識點,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的參數(shù)方程為
x=4cosθ
y=5sinθ
(θ∈R),則該橢圓的焦距為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知O為原點,P為橢圓
x=4cosα
y=2
3
sinα
(α為參數(shù))上第一象限內(nèi)一點,OP的傾斜角為
π
3
,則點P坐標為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x=4cosθ
y=5sinθ
上兩個相鄰頂點為A、C,且B為橢圓上的動點,求三角形△ABC面積的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x=4cosθ
y=5sinθ
上兩個相鄰頂點為A、C,且B為橢圓上的動點,求三角形△ABC面積的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案