Question

如圖，點(diǎn)A、B為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)M為該橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)AM、BM分別與直線(xiàn)l：x=2

2

相交于點(diǎn)P、Q．
（1）若點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）證明：橢圓右焦點(diǎn)F在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓上．

Answer 1

分析：（1）求出直線(xiàn)AM的方程，可得P的坐標(biāo)，同理求出Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）證明橢圓右焦點(diǎn)F在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓上，只需證明FP⊥FQ，利用向量知識(shí)可求．

解答：（1）解：由題意，a=2，∴A（2，0），B（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則直線(xiàn)AM的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，
令x=2

2

，則P（2

2

，

y0

x0-2

•(2

2

-2)）．
同理，Q（（2

2

，

y0

x0+2

•(2

2

+2)）．
∵點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴

y0

x0-2

•(2

2

-2)+

y0

x0+2

•(2

2

+2)=0，
∴x0=

2

，
代入橢圓方程，
∵點(diǎn)M為該橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，
∴y₀=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2

，1）；
（2）證明：∵c=

4-2

=

2

，
∴F（

2

，0)，
∴

FP

•

FQ

=2+

y0

x0-2

•

y0

x0+2

(2

2

-2)(2

2

+2)=

2(x02+2y02-4)

x02-4

，
∵

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02+2y02=0，
∴

FP

•

FQ

=0，
∴

FP

⊥

FQ

，
∴FP⊥FQ，
∴橢圓右焦點(diǎn)F在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．