Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠CBA=30°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=3．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）設(shè)點M為EF中點，求二面角B-AM-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得BC⊥AC，由此能證明BC⊥平面ACEF．
（II）過C作CH⊥AM，交AN于點H，連BH，從而∠CHB為二面角B-AM-C的平面角，由此能求出二面角B-AM-C的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：∵AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，
則AB=4，AC²=12，則得AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，∵面ACEF⊥平面ABCD，
面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF．（7分）
（II）解：過C作CH⊥AM，交AN于點H，連BH，
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥AM，而AM⊥CH，∴AM⊥平面BCD，∴BH⊥AM，
則∠CHB為二面角B-AM-C的平面角，
在Rt△BHC中，CH=3，HB=

13

，cos∠CHB=

3 13

13

，
則二面角B-AM-C的余弦值為

3 13

13

．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．