Question

（06年上海卷理）（14分）

在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

解析：（1）設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y²=2x于點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

         當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,－).             ∴=3；

         當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中，

         由得

         又 ∵ ，

    ∴，

    綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；

(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.

   例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,

直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；

說明：由拋物線y²=2x上的點(diǎn)A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 滿足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y₁y₂=2，可證得直線AB過點(diǎn)(－1,0),而不過點(diǎn)(3,0).