Question

（2012•湖南模擬）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{b_n}．可以推測：
（Ⅰ）b₃是數(shù)列{a_n}中的第

9

項(xiàng)；
（Ⅱ）b_2k=

5k(5k+1)

2

（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可得結(jié)論；
（II）由于2k是偶數(shù)，由（I）知，第2k個(gè)被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第k組倒數(shù)第一個(gè)，故它是數(shù)列{a_n}中的第k×5=5k項(xiàng)，由此可得結(jié)論．

解答：解：（I）由題設(shè)條件可以歸納出a_n+1=a_n+（n+1），
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知，第3個(gè)可被5整除的數(shù)為45，是數(shù)列{a_n}中的第9項(xiàng)；
（II）由于2k是偶數(shù)，由（I）知，第2k個(gè)被5整除的數(shù)出現(xiàn)在第k組倒數(shù)第一個(gè)，故它是數(shù)列{a_n}中的第k×5=5k項(xiàng)，
所以b_2k=

5k(5k+1)

2

故答案為：9，

5k(5k+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個(gè)三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)．